Что такое ортоцентр – «Какие четыре точки называют “замечательными точками” треугольника?» – Яндекс.Знатоки

Содержание

Ортоцентр — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ортоцентр (от др.-греч. ὀρθός «прямой») — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H{\displaystyle H}. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле). Ортоцентр относятся к замечательным точкам треугольника и перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга как точка X(4).

Если в четвёрке точек A, B, C, D точка D является точкой пересечения высот треугольника ABC, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек.
- Более того, при любом разбиении множества ортоцентрической системы точек {A, B, C, D} на две пары, например, {B, C} и {A, D} или при любом другом подобном разбиении, всегда перпендикулярны образующиеся два отрезка прямых с концами в данных точках множеств (в нашем случае BC перпендикулярно AD) независимо от выбора этих двух пар.
- Радиусы окружностей, проходящих через любые три точки ортоцентрической системы, равны (следствие теоремы Гамильтона для окружности Эйлера). Их часто называют окружностями Джонсона.
- Последнее утверждение можно сформулировать так: Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей (следствие теоремы Гамильтона для окружности Эйлера). При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.

Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон, лежат на описанной окружности.

Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности (см. рисунок)^[1].
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.

Если O{\displaystyle O} — центр описанной окружности △ABC{\displaystyle \triangle ABC}, то OH→=OA→+OB→+OC→{\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}.
- OH=R2−8R2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=9R2−(a2+b2+c2){\displaystyle OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}}^[2]^[3]^{:p. 449}, где R{\displaystyle R} — радиус описанной окружности; a,b,c{\displaystyle a,b,c} — длины сторон треугольника; A,B,C{\displaystyle A,B,C} — внутренние углы треугольника.
При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью, всегда делится окружностью Эйлера пополам. Это следует из того, что ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей с коэффициентом 1/2{\displaystyle 1/2}.
Четыре попарно пересекающиеся прямые, никакие три из которых не проходят через одну точку (четырёхсторонник), при пересечении образуют четыре треугольника. Их ортоцентры лежат на одной прямой (на прямой Обера).
Если считать, что ортоцентр треугольника делит первую высоту на части длиной: u и v, вторую высоту на части длиной: w и x, третью высоту на части длиной: y и z, тогда uv = wx = yz^[4]^[5].
Цепочка уравнений в последнем пункте: uv = wx = yz,- по сути означает, что три пары отрезков, на которые ортоцентр разделяет три высоты остроугольного треугольника, подчиняются правилу хорд, пересекающихся внутри окружности, например: uv = wx. Отсюда автоматически следует то, что через четыре конца любых двух высот остроугольного треугольника всегда можно провести окружность (высоты в ней будут пересекающимися хордами). Оказывается, это утверждение сохраняет силу и для тупоугольного, и прямоугольного треугольников.
Расстояние от стороны до центра описанной окружности равно половине расстояния от противоположной ей вершины до ортоцентра^[6]^[7].
Сумма квадратов расстояний от вершин до ортоцентра плюс сумма квадратов сторон равна двенадцати квадратам радиуса описанной окружности^[8].
Три основания высот остроугольного треугольника или три проекции ортоцентра на стороны треугольника образуют ортотреугольник.

Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра

Трилинейной полярой ортоцентра является ортоцентрическая ось DEF (Orthic axis) (см. рис.)

R+r=ka+kb+kc=12(dA+dB+dC),{\displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),}

где ka,kb,kc{\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}} — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон a,b,c{\displaystyle a,b,c} треугольника, dA,dB,dC{\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}} — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин A,B,C{\displaystyle A,B,C} треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности до стороны a{\displaystyle a}равно:

ka=a2tgA;{\displaystyle k_{a}={\frac {a}{2\,\mathrm {tg} \,A}};}

расстояние от ортоцентра до вершины A{\displaystyle A} равно:

dA=atgA.{\displaystyle d_{A}={\frac {a}{\mathrm {tg} \,A}}.}

↑ Honsberger, 1995, p. 18.
↑ Marie-Nicole Gras, «Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers», Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
↑ Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, «Euler and triangle geometry», Mathematical Gazette 91, November 2007, 436—452.
↑ Altshiller-Court, 2007, p. 94.
↑ Honsberger, 1995, p. 20.
↑ Altshiller-Court, 2007, p. 99.
↑ Honsberger, 1995, p. 17, 23.
↑ Altshiller-Court, 2007, p. 102.
↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.

Ортоцентр – это… Что такое Ортоцентр?

Ортоцентр (от греч. ορθοξ — прямой) — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).

Свойства

Если в четвёрке точек A, B, C, D точка D является точкой пересечения высот треугольника ABC, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек.
- Радиусы окружностей, проходящих через любые три точки ортоцентрической системы, равны.
Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).

Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
Если О — центр описанной окружности ΔABC, то ,
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.

История

Первое строгое доказательство того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке дал Карл Фридрих Гаусс только в XVIII веке

[источник не указан 845 дней].

См. также

Литература

Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 37-39. — ISBN 5-94057-170-0

Ссылки

Ортоцентр треугольника: полезные факты.

Ортоцентр треугольника: полезные факты

В этой статье доказываются некоторые факты, касающиеся точки пересечения высот треугольника (ортоцентра треугольника), которые могут быть весьма полезны при решении задач.

Пусть – точка пересечения высот треугольника ,

– центр описанной окружности.

Тогда:

1) радиусы окружностей, описанных около треугольников , , и равны;

2) расстояние от вершины

до точки

вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны

;

3) расстояние между серединами отрезков и

равно радиусу описанной окружности треугольника

;

4) ;

5) точки, симметричные точке относительно прямой и относительно середины стороны

, лежат на описанной окружности треугольника

Доказательство.

1) Радиусы окружностей, описанных около треугольников , , и

равны.

Радиус окружности, описанной около треугольника можно найти по формуле:

, где – произвольная сторона треугольника, а – величина противолежащего угла.

Для треугольника радиус описанной окружности

Рассмотрим четырехугольник : по свойству вертикальных углов.

Тогда для треугольника радиус описанной окружности , то есть равен радиусу описанной окружности треугольника .

2) Расстояние от вершины до точки вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны .

Докажем, что , где – центр описанной окружности, а – основание серединного перпендикуляра, опущенного из точки на сторону . (Вспомним, что центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.)

Пусть точка симметрична точке относительно отрезка .

Рассмотрим треугольник .

Из соображений симметрии , следовательно, .

Так как расстояние от точки до точек и равно радиусу окружности, описанной около треугольника , и мы только что доказали, что радиус окружности, описанной около треугольника также равен , следовательно, точка – центр окружности, описанной около треугольника , и .

Проведем окружность с центром в точке , описанную около треугольника :

Мы видим, что при параллельном переносе на вектор окружность с центром в точке переходит в окружность c центром в точке , и точка переходит в точку , следовательно, . Но так как , получили, что .

Что и требовалось доказать.

3) Расстояние между серединами отрезков и равно радиусу описанной окружности треугольника .

Рассмотрим четырехугольник .

Мы доказали, что . Кроме того, по доказанному выше, . Следовательно, этот четырехугольник – параллелограмм. Точка – середина отрезка , является также серединой отрезка . Следовательно, отрезок, соединяющий точку с точкой – серединой отрезка , параллелен отрезкам и и равен им:

Что и требовалось доказать.

Используем доказанные выше факты.

Четырехугольник – ромб, следовательно, по правилу параллелограмма для сложения векторов получаем :

Далее, четырехугольник -параллелограмм, следовательно, .

Утверждение доказано.

5) Точки, симметричные точке относительно прямой и относительно середины стороны , лежат на описанной окружности треугольника .

Пусть точка симметрична точке относительно прямой :

Точка симметрична точке относительно прямой . Следовательно, окружность с центром в точке симметрична окуржности с центром в точке . Точка лежит на окружности с центром в точке (см. п. 2), следовательно, симметричная ей относительно прямой точка симметричной окружности с центром в точке , то есть описанной около треугольника .

Пусть точка симметрична точке относительно относительно середины стороны :

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, , и точка лежит на окружности, описанной около треугольника .

Утверждение доказано.

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

8. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).

Свойства

Если в четвёрке точек A, B, C, D точка D является точкой пересечения высот треугольника ABC, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек.

Радиусы окружностей проходящих через любые три точки ортоцентрической системы равны.

Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).

Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.

Точки, симметричные ортоцентру относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

Точки, симметричные ортоцентру относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.

Если О — центр описанной окружности ΔABC, то .

Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Ортотреуго́льник (ортоцентрический треугольник) треугольника ∆ABC — треугольник, вершины которого являются основаниями высот ∆ABC.

Свойства

. Ортоцентрический треугольник остроугольного треугольника АВС обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.
Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (следовательно ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник).
Если точки A₁, B₁ и C₁ на сторонах соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC таковы, что

, и ,

то A₁B₁C₁ — ортотреугольник треугольника ABC.

Точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, и в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника.
Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.
Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника.
Высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника.
Ортотреугольник – это треугольник с наименьшим периметром, который можно вписать в этот треугольник .
Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведению высоты треугольника на синус угла, из которого она исходит.

9. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
Площадь S вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d можно вычислить по формулам:
,где p – полупериметр, R – радиус окружности.
Если a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, – его полупериметр, а α – сумма его противоположных углов, то площадь S четырёхугольника равна

В качестве α здесь можно взять сумму любой из двух пар противоположных углов, результат от этого не зависит. В случае четырёхугольника, вписанного в окружность, эта формула принимает более простой вид:

;это равенство и называется формулой Брахмагупты. Если четырёхугольник имеет и описанную и вписанную окружности, то формула становится совсем короткой: .

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180⁰ (свойство вписанных четырехугольников).

1 Действительно, пусть четырехугольник АВСД вписан в окружность (рис.3.61).Тогда сумма его углов А и С измеряется полусуммой дуг ВСП и ВЛП, составляющих полную окружность, а потому равна 180°. И Рассмотрим первый случай. Продолжим тогда сторону ВА за точку А до пересечения с окружностью Р в точке М и проведем хорду МБ (рис.3.63).Четырехугольник ВСБМ вписан в окружность Р. Как доказано, АС+ АМ= 180^о. Но АА >АМ (как внешний угол треугольника БМА), а значит АА+АС>180^о. Получили противоречие. Следовательно, точка А не может лежать внутри круга, ограниченного окружностью Р.

Тэарэма (аб акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка). Каля любога правільнага многавуголь- ніка можна апісаць акружнасць, і прытым толькі адну. Дадзена: А ₁ А ₂А₃ ••• А_n —правільны многавугольнік. Даказаць: існуе пункт, роўнааддалены ад усіх вяршынь. Ён адзіны. Доказ. 1. Дакажам існаван- не. Няхай О — пункт перасячэння бісектрыс вуглоў А_г іА₂ (рыс. 61). Злучым пункт О адрэзкамі з астатнімі вяршынямі многаву- гольніка і дакажам, што ОА₁ = ОА₂ = … = ОА_п. 1) Паколькі А₁ =А₂ то 1 = =3, значыць, трохвугольнік А₁А₂0 раўнабедраны і ОА_г = ОА₂. 2) Трохвугольнікі А₁А₂0 і А₃А₂О роўныя па дзвюх стара- нах і вуглу паміж імі (А₁А₂ = АзА₂, А₂О — агульная старана і 3 = 4), значыць, ОА₃ = ОА_г.

3)Аналагічна можна даказаць, што ОА₄ = ОА₂, ОА₅ = ОА₃і г.д. 4) Такім чынам, ОА₁ = ОА₂ = … = ОА_т, значыць, пункт О роўнааддалены ад усіх вяршынь многавугольніка. Таму акружнасць со (О, ОА₁) з’яўляецца апісанай каля многаву- гольніка.

2. Дакажам адзінкавасць. Для гэтага разгледзім якія-не- будзь тры вяршыні многавугольніка, напрыклад, А₁ А₂, А₃. Паколькі праз гэтыя пункты праходзіць толькі адна акруж- насць, то і каля многавугольніка А₁, А₂, … А_nможна апісаць толькі адну акружнасць.